Potenzen mit natürlichen Exponenten Exponenten treten z.B. auf bei:

Flächenformeln oder Volumenmassen:   cm²  oder m³

Ein Würfel mit der Kante 2 m hat ein Volumen von 2³  m³

Allgemein hat ein Würfel mit der Kante a ein Volumen von a³ nach der Volumenformel Länge mal Breite mal Höhe, beim Würfel a^.a^.a = a³

In der Mathematik heisst diese abgekürzte Multiplikation eine Potenz:

Als Spezialfall gilt a¹ = a. Der Exponent 1 wird normalerweise nicht geschrieben.

Frage:	Welche der folgenden Terme sind Potenzen?
	3a4 3 und a sind verschiedene Basen, also keine Potenz	oder	b12 Ja, das ist eine Potenz

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Klammern sind bei Potenzen sehr wichtig. (cd)³ ist nicht dasselbe wie cd³

Beispiel (a):    (cd)³ bedeutet (cd)^.(cd)^.(cd)

Beispiel (b):    cd³ bedeutet c^.d^.d^.d

Frage:	Welche der beiden Gleichungen ist richtig?
	(3x)2Ja, die 3 muss auch potenziert werden = 9x2	oder	(3x)2 = 3x2Auch die 3 muss potenziert werden

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Für das Vorzeichen einer Potenz gilt:

Die Vorzeichenregel:

(-1)n = 1  wenn n eine gerade Zahl ist (-1)n = -1 wenn n eine ungerade Zahl ist

 

Frage:	Für eine natürliche Zahl n gilt eine der beiden Aussagen:
	(-1)2n + 1 = 1der Exponent 2n+1 ist ungerade	oder	(-1)2n + 1 = -1das ist richtig

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Für die Multiplikation von Potenzen gibt es Regeln.

Beispiel (1):    a^3.a⁴ bedeutet (a^.a^.a)^.(a^.a^.a^.a) =   a^{3 + 4} = a⁷

Die Regel (1) lautet:

Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält.

Beispiel (2):    a^4.b⁴ bedeutet (a^.a^.a^.a)^.(b^.b^.b^.b) = (a^.b)^.(a^.b)^.(a^.b)^.(a^.b) = (ab)⁴

Die Regel (2) lautet:

Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert indem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält.

Beispiel:    a^4.b³ bedeutet (a^.a^.a^.a)^.(b^.b^.b) Es kann weder Regel (1) noch Regel (2) angewendet werden.

Fragen:	Welche der Aussagen sind richtig?
	(2a)5  = 25.a5Ja das stimmt	oder	(2a)5  = 2a5die 2 muss auch mit 5 potenziert werden
	x3.x  = x4stimmt	oder	x3.x  kann nicht vereinfacht werden
	2x33y2  = 6(xy)5beachten Sie das Beispiel (3)	oder	2x33y2  = 6x3y2Bravo!

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Für die Division von Potenzen gibt es ähnliche Regeln.

Beispiel (3):    a⁵:a² bedeutet     =   a^{5 - 2} = a³ (a # 0)

Die Regel (3) lautet:

Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält.

Bemerkung: Die Regel (3) gilt nur solange der Exponent des Zählers grösser als der Exponenten des Nenners ist. Nur in diesem Fall ist das Resultat der Subtraktion immer noch eine natürliche Zahl. Diese Einschränkung wird im nächsten Kapitel aufgehoben.

Beispiel (4):    a⁵:b⁵ bedeutet =   (b # 0)

Die Regel (4) lautet:

Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert indem man die Basen dividiert und den Exponenten beibehält.

 

Fragen:	Was stimmt bei diesen Aussagen?
	ax + 5 : ax - 2 = a3Beachten Sie die Vorzeichen	oder	ax + 5 : ax - 2 = a7Ja das ist richtig
	(ac)5 : ac2 = (ac)3Beachten Sie die Klammern	oder	(ac)5 : ac2 = a4c3Gut gemacht

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Die letzte Regel befasst sich mit dem potenzieren einer Potenz.

Beispiel (5):   (a³)² bedeutet (a^.a^.a)² = a^3.a³ = a^3.2 = a⁶

Die Regel (5) lautet:

Potenzen werden potenziert indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält.

Wiederum muss auf die Klammern geachtet werden:

Beispiel: aber

Fragen:	Welche Aussagen sind richtig?
	(a3)2 = (a2)3Gut, jetzt kommt die letzte Aufgabe	oder	Das ist leider falsch
	Stimmt leider nicht	oder	Bravo

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